[Для умных] Задача про треугольники

[Anton_K]

Треугольник АВС, равнобедренный, угол при вершине (B) 80 градусов. На площади этого треугольника произвольно взята точка D, от которой проведены к вершинам отрезки. В получившемся треугольнике ADC угол ACD равняется 10 градусам, угол CAD - 30 градусам. Требуется найти угол ADB.

Примерный чертеж:

Просьба математически обосновать свой ответ. Измерение угла транспортиром - не решение _/
Update: пекари быстро решили задачу

Предлагаю усложнить: решить ее без использования каких-либо тригонометрических функций (sin, cos, tan и т. д.), это точно возможно.

[^__^]

На глаз где-то 150

[_Panzer]

20 градусов. изи в уме

Скрытый текст

Сумма углов - 180%
два нижних в сумме = 180 - 80 = 100
Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой => каждый по 100/2 = 50
50 - 30 = 20

[свернуть]

тьфу ты, не тот угол посчитал

150 видимо если

Скрытый текст

через подобие треугольников, но доказать подобие не смогу

[свернуть]

[SilverGuard]

Алярм, спойлеры!

[свернуть]

[NightSong]

140

решение не математическое, скорее логическое. Точнее даже брутфорс =)

мы знаем, что угол ADC = 220, исходя из этого перебираем значения, коие будут верны для треугольников ADB и BDC

SilverGuard,

[Mr Virgin]

мы знаем, что угол ADC = 220

Лол что? Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180° -> ADC = 140.

[A_K]

Решение без листочка пишу, поэтому могут быть ошибки, по ходу обсуждения исправлю, если что.
Угол abc = 80, значит углы bac=bca=50. Значит bad=20, bcd=40.
По теореме синусов:
AB/sin(bda)=BD/sin(20),
BC/sin(bdc)=BD/sin(40),
AB=BC,
значит sin(bdc)/sin(bda)=sin(40)/sin(20)=2*cos(20),
при этом угол adc=140, значит bdc=220-bda, подставляем в верхнее равенство:
sin(220-bda)/sin(bda)=2*cos(20), раскрываем синус разности:
sin(220)*ctg(bda)-cos(220)=2*cos(20)
отсюда ctg(bda)=[2*cos(20)+cos(220)]/sin(220),
откуда bda=150 градусов

[SilverGuard]

Лол что? Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180° -> ADC = 140.

Он про невыпуклый угол же.

[NTmY]

чота слишком изи на первый взгляд

[ZIG3ZIG]

140

решение не математическое, скорее логическое. Точнее даже брутфорс =)

мы знаем, что угол ADC = 220, исходя из этого перебираем значения, коие будут верны для треугольников ADB и BDC

SilverGuard,

если он у тебя будет 140 то ABD будет 20, а он явно меньше BAD который 20... Логистик

[botka4aet]

Когда уже вы угомонитесь

Скрытый текст

[свернуть]

[Trius]

У меня 130 получилось

[NTmY]

ctg(bda)=[2*cos(20)+cos(220)]/sin(220),
откуда bda=150 градусов

кто-то может это расписать?

[fruit_cake]

хочешь я сейчас на улицу голый выйду?

[GorBushka]

Я в школе такие задачки щелкал, как орехи

Сейчас в падлу заниматься, но основная идея такая - если известны любые три элемента треугольника, то остальные три находятся с помощью теорем синусов и косинусов.

1) Сначала в относительных единицах находим сторону АС треугольника АВС.
2) Затем находим сторону АD, рассматривая треугольник ADC.
3) Затем уже находим угол ADB, решая треугольник ABD.

- - - Добавлено - - -

В общем, нет изюминки в этой задаче.

[fruit_cake]

Я в школе такие задачки щелкал, как орехи

хочешь пощёлкать мои орехи?

[Antaran]

Теоремами синусов и косинусов все решается, хотя и громоздко. Подозреваю, что есть решение изящней. Скорее всего нужны дополнительные построения.

[Anton_K]

Теоремами синусов и косинусов все решается, хотя и громоздко. Подозреваю, что есть решение изящней. Скорее всего нужны дополнительные построения.

Да, задачу можно решить без тригонометрических функций, чем и предлагаю заняться умным пекарям

[_Panzer]

задачу можно решить без тригонометрических функций

Я пытался через подобие треугольников, получаемых дополнительными построениями, но мой полугуманитарный мозг не смог довести задуманное до конца

Скрытый текст

[свернуть]

[grobovshik]

у ТС летняя школа для двоечников?