Итак, начнём. <br />есть конечные множества. мощность множества, в случае конечных - это то, сколько в них содержится элементов.<br /><br />переходим к бесконечным множеством.<br /><br />мощность множества натуральных чисел {1,2,3....} будем называть счётной.<br /><br />два множества называются равномощными, если существует биекция(взаимно-однозначное отображение) одного множества на другое.<br /><br />то есть правило, согласно которому каждому элементу первого множества поставлен в соответствие ровно один элемент второго.<br /><br />разберёмся. видим, что никакое конечное множество не равномощно бесконечному, а так же неравномощны два конечных множества с разным числом элементов.<br /><br />теперь. всевозможные примеры счётных множеств.<br />а) множество всех чётных чисел. искомая биекция: 1-2, 2-4, 3-6 и так далее. то есть каждому числу из натуральных сопоставляется вдвое большее его. видим, что действительно, каждому элементу - ровно один элемент сопоставлен. то есть в каком-то смысле чётных чисел столько же, сколько и всех.<br /><br />б) имеющее отношение к выниманию шаров: чисел вида 10,20,30,40,...<br />тоже столько же, сколько и натуральных. биекция: 1-10, 2-20, 3-30, ...<br /><br />то есть, нельзя сказать, что множество (1,2,3,4...) мощнее (10,20,30),<br />они равномощны. при этом, на взгляд, второе составлено лишь из каждого десятого члена первого множества, а тем не менее. <br /><br />в) квадраты натуральных чисел: 1,4,9,16 - их вообще очень мало. а тем не менее, это множество равномощно натуральным тоже.<br /><br /><br />!!!! вообще - критерий бесконечности множества: множество бесконечно в том и только том случае, когда содержит свою часть(подмножество), которое равномощно ему самому !!!<br /><br />следующая мощность за счётным - континуум. это, например, множество точек на отрезке.<br /><br />которое равномощно: множеству точек на прямой, точек в квадрате, точек в трёхмерном(обычном) пространстве. <br /><br />при желании я могу доказать, что континуум и счётное не равномощны.<br /><br />все множества из задачи про шары - равномощны друг другу, что множество вынутых шаров, что множество засунутых, по пункту б. и все эти множества счётны.<br /><br /><br />теперь что касается кардиналов. кардинальное число это, строго говоря, класс эквивалентности равномощных множеств. <br /><br />в этом посте уже упомянались кардиналы:<br />1, 2, 3,4... (то есть для 1-элементных множеств, 2х элементных и т.п)<br /><br />кардинал, который мы назовём \"счётный\"<br />и, наконец, континуум.<br /><br />континуум - это первый за счётным больший его кардинал.<br /><br />как нетрудно видеть, если к счётному множеству добавить в элементы ещё одно счётное множество (напр, к чётным-нечётные числа), получится опять счётное.<br /><br />вообще, сколько бы раз мы не прибавляли к счётному счётные, получим снова счётное.<br /><br />более того, если счётное количество раз сложить счётные множества, всё равно будет счётное множество.<br /><br />любая мысль отсюда может быть доказана, снабжена примерами или пояснена по желанию.<br /><br />и ещё есть куча ссылок на эту тему.
