Программисты, математики - вам сюда! Комбинаторика и вероятности, NEED HELP

[Алеша]

Вообщем есть например Адольф, и у него дома 5(!!!) холодильников. В каждом холодильнике лежит вместо еды большая ПЕКА. ясен красен, что с такого события полыхнет в одном месте. Чтобы не расстраивать Адольфа, пеки мы сделаем разноцветными. В каждом холодильнике в основном появляется пека одного цвета, но может попасться любая.

Ну, и немного цифр: предположим Адольф чаще ходит к первому холодильнику, реже - ко второму, еще реже - к третьему и т.д. Например вероятности будут 10%, 15%, 20%, 25%, 30%.
Так же в задаче даны вероятности пек, предположим - 80%, 70%, 60%, 50% и 40% для каждого холодильника соответственно. В остальных случаях, если в холодильнике №1 не лежит пека №1(10% к холодильнику и 80% достать нужную пеку и затроллить Адика) там лежит одна из четырех других пек, с равными вероятностями(по 5% на каждую)

Если немного пораскинуть мозгом, можно так же вычислить общий шанс достать каждую из пек. Этим могут заняться неопытные пекари.
Вопрос к опытным докторам стоит следующий: по какой формуле можно менять вероятности выпадения пек в холодильниках, при условии, что остальные вероятности меняться не должны? Как подставляя другие данные значения автоматически получать неизвестные?

[Logitech]

Ты три года придумывал что бы написать. И написал нечто мозговыносящее

[Алеша]

Logitech, в оригинале сюжет задачи не шибко легче усваивается

[Helis]

Так вот почему Адольф в макдаках питается.

[zaocide]

Ну, и немного цифр: предположим Адольф чаще ходит к первому холодильнику, реже - ко второму, еще реже - к третьему и т.д. Например вероятности будут 10%, 15%, 20%, 25%, 30%.

Так задумано, что в сумме должно быть 100% или это совпадение? Другими словами, Адольф за 1 раз может подойти только к одному холодильнику или может пробежаться по всем?

Так же в задаче даны вероятности пек, предположим - 80%, 70%, 60%, 50% и 40% для каждого холодильника соответственно. В остальных случаях, если в холодильнике №1 не лежит пека №1(10% к холодильнику и 80% достать нужную пеку и затроллить Адика) там лежит одна из четырех других пек, с равными вероятностями(по 5% на каждую)

Могут ли в разных холодильниках лежать пеки одного цвета? По условию, холодильники могут быть пустыми - так ли это? Пожар случается, только если номера пек и холодильников совпадут?

Вопрос к опытным докторам стоит следующий: по какой формуле можно менять вероятности выпадения пек в холодильниках, при условии, что остальные вероятности меняться не должны? Как подставляя другие данные значения автоматически получать неизвестные?

Какие именно вероятности должны остаться неизменными? Исходные, вероятности поймать багет или все вместе?

[Спустить Собак]

что за я когда читал это чуть не умер

[shicki]

Вообщем есть например Адольф, и у него дома 5(!!!) холодильников. В каждом холодильнике лежит вместо еды большая ПЕКА. ясен красен, что с такого события полыхнет в одном месте. Чтобы не расстраивать Адольфа, пеки мы сделаем разноцветными. В каждом холодильнике в основном появляется пека одного цвета, но может попасться любая.

Ну, и немного цифр: предположим Адольф чаще ходит к первому холодильнику, реже - ко второму, еще реже - к третьему и т.д. Например вероятности будут 10%, 15%, 20%, 25%, 30%.
Так же в задаче даны вероятности пек, предположим - 80%, 70%, 60%, 50% и 40% для каждого холодильника соответственно. В остальных случаях, если в холодильнике №1 не лежит пека №1(10% к холодильнику и 80% достать нужную пеку и затроллить Адика) там лежит одна из четырех других пек, с равными вероятностями(по 5% на каждую)

Если немного пораскинуть мозгом, можно так же вычислить общий шанс достать каждую из пек. Этим могут заняться неопытные пекари.
Вопрос к опытным докторам стоит следующий: по какой формуле можно менять вероятности выпадения пек в холодильниках, при условии, что остальные вероятности меняться не должны? Как подставляя другие данные значения автоматически получать неизвестные?

а ты пробовал составить систему уравнений? (получится примерно 15 уравнений с кучей переменных)

я так думаю

[A_K]

предположим Адольф чаще ходит к первому холодильнику, реже - ко второму, еще реже - к третьему и т.д. Например вероятности будут 10%, 15%, 20%, 25%, 30%.

Если Адольф чаще всего ходит к первому холодильнику, то почему у него вероятность меньше?

[Алеша]

В идеале перекинуть в таблицу EXCEL для подставления любых вариантов с любыми процентами, так чтобы юзер таблицы вводил например представленные выше 10%, 15%, 20%, 25%, 30% и мог их поменять. А в таблице автоматически рисовались шансы доставания для каждого частного случая.(Шансы для каждой пеки и каждого холодильника в частных случаях, при данных общих шансах)

В моей задаче холодильников и пек больше - это не важно, но подбором и рисованием формулы каждого частного случая я к ответу приду еще года через 3.

[A_K]

В идеале перекинуть в таблицу EXCEL для подставления любых вариантов с любыми процентами, так чтобы юзер таблицы вводил например представленные выше 10%, 15%, 20%, 25%, 30% и мог их поменять. А в таблице автоматически рисовались шансы доставания для каждого частного случая.

Сформулируй чётче какие данные на входе, какие на выходе.

[Алеша]

Ок. Есть глупый Алеша. Это данные на вход

На входе 10 чисел: 5 холодильников с(например) 10%, 15%, 20%, 25%, 30% вероятностями подойти к каждому. Даны вероятности ПЕК, общие - т.е. без учета холодильников. Аналогичные но в обратном порядке - 30%, 25%, 20%, 15%, 10%.
На выходе: частные случаи нахождения пек в "родных" и "неродных" холодильниках, которые меняются в зависимости от входных данных.

С таблицей я еще справлюсь - я не понимаю как высчитывать этот хаос с двумя переменными, если они тут вообще есть.

[A_K]

На входе 10 чисел: 5 холодильников с(например) 10%, 15%, 20%, 25%, 30% вероятностями подойти к каждому. Даны вероятности ПЕК, общие - т.е. без учета холодильников. Аналогичные но в обратном порядке - 30%, 25%, 20%, 15%, 10%.
На выходе: частные случаи нахождения пек в "родных" и "неродных" холодильниках, которые меняются в зависимости от входных данных.

С таблицей я еще справлюсь - я не понимаю как высчитывать этот хаос с двумя переменными, если они тут вообще есть.

Ну насколько я понял - у тебя 25 неизвестных переменных, для которых я вижу 10 уравнений (может ещё есть), грубо говоря пусть П1, П2, П3, П4, П5 - общие вероятности для пек, Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 - общие вероятности для холодильников, п11, п12, п13, п14, п15, п21, п22, п23 .... п53, п54, п55 - неизвестные частные вероятности, где пij - вероятность достать i-ую пеку из j-го холодильника, тогда
П1 = Х1*п11 + Х2*п12 + Х3*п13 + Х4*п14 + Х5*п15
...
П5 = Х1*п51 + Х2*п52 + Х3*п53 + Х4*п54 + Х5*п55

1 = п11 + п21 + п31 + п41 + п51
...
1 = п15 + п25 + п35 + п45 + п55
Дальше идешь сюда http://ru.wikipedia.org/wiki/Реш�...авнений смотришь как они решаются, составляешь фундаментальную матрицу решений и записываешь решение. Понятно, что т.к. уравнений меньше чем переменных, то однозначно ты их определить не сможешь, так что придётся явно задавать ещё и некоторые из них

[Kawaisse]

Алеша,

Тут просто слишком много холодильников. Нужно просто внимательно расписать все возможные случаи по формуле Байеса.
Меня ломает это делать. Это часа на 2 минимум

- - - Добавлено - - -

A_K, лол, ты хочешь сказать, что нет однозначного решения при данных условиях??? Все вероятности же заданы. Считай по Байесу и все.

[A_K]

A_K, лол, ты хочешь сказать, что нет однозначного решения при данных условиях??? Все вероятности же заданы. Считай по Байесу и все.

Ты с помощью Байеса сведешь нахождение вероятности достать первую пеку при попадании в первый холодильник к вероятности того, что ты попал в первый холодильник при доставании первой пеки. Которую ещё более непонятно как считать. Даже я бы сказал, которая не ищется без знания других условных вероятностей.

[Kawaisse]

Ты с помощью Байеса сведешь нахождение вероятности достать первую пеку при попадании в первый холодильник к вероятности того, что ты попал в первый холодильник при доставании первой пеки. Которую ещё более непонятно как считать.

А рассмотреть остальные 4 холодильника и получим полную вероятность.

[Алеша]

weisse, у меня в задании их 8 =( и по 8 пек в каждом. если 5х5 это на два часа, 8х8 это получается надо мной пошутили? Байеса пошел читать, благодарствую

A_K, спасибо, примерно к этому я пришел. шиза берет когда прикидываю как это вписать в ячейку таблицы, в качестве формулы

[Elrond16]

Обозначения:
Pi -- вероятность Адольфа подойти к холодильнику i. i = {1, ... 5}, sum[i] Pi = 1.
Pij -- вероятность достать j-ю пеку из холодильника i. Также из условия известно, что Pij = Ri * delta_ij + (1 - delta_ij) * ((1 - Ri) / 4), где delta_ij — символ Кронекера (delta_ij = 1 if i=j, 0 otherwise).
Тогда вероятность Адольфу достать j-ю пеку равна Qj = sum[i] Pi Pij.
Параметрами задачи являются Ri. Насколько я понимаю, требуется найти такие возможные изменения Ri, что Qj не меняются.
Qj = Pj Rj + sum[i!=j] Pi ((1-Ri)/4) = const.
Это линейная система относительно всех Ri, при этом известно, что {Ri} = {0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4} уже являются решениями.
Матрица коэффициентов для этой системы (после умножения на 4) имеет вид: A = ((4R1,-R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,4R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,4R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,4R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,-R4,4R5)). Легко видеть, что сумма всех строк матрицы дает нулевую строку, значит определитель равен нулю, следовательно {Ri} имеет не единственное решение, и варьировать Ri, не меняя Qj, можно.
Также, нетрудно показать, что ранг этой матрицы равен 4 (достаточно взять верхний левый минор 4х4, его определитель равен 125 * R1 * R2 * R3 * R4 != 0. Значит произвольно варьировать можно только одно из Ri, все остальные вероятность Rj будут вынужденно изменяться по линейному закону от Ri. Искать напрямую эту зависимость от параметра мне достаточно лениво, но это можно сделать методом Крамера и получить очень длинное выражение.
В общем, если я правильно понял задачу и нигде не наврал случайно, то в задаче есть один свободный параметр, а остальные нужно изменять по линейному закону от него.

[gapk]

Какой толк считать что-то по теории вероятности, если всё равно наглая пека даже с шансом 5% как на зло вылезет к Адольфу?!

[Алеша]

Обозначения:
Pi -- вероятность Адольфа подойти к холодильнику i. i = {1, ... 5}, sum[i] Pi = 1.
Pij -- вероятность достать j-ю пеку из холодильника i. Также из условия известно, что Pij = Ri * delta_ij + (1 - delta_ij) * ((1 - Ri) / 4), где delta_ij — символ Кронекера (delta_ij = 1 if i=j, 0 otherwise).
Тогда вероятность Адольфу достать j-ю пеку равна Qj = sum[i] Pi Pij.
Параметрами задачи являются Ri. Насколько я понимаю, требуется найти такие возможные изменения Ri, что Qj не меняются.
Qj = Pj Rj + sum[i!=j] Pi ((1-Ri)/4) = const.
Это линейная система относительно всех Ri, при этом известно, что {Ri} = {0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4} уже являются решениями.
Матрица коэффициентов для этой системы (после умножения на 4) имеет вид: A = ((4R1,-R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,4R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,4R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,4R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,-R4,4R5)). Легко видеть, что сумма всех строк матрицы дает нулевую строку, значит определитель равен нулю, следовательно {Ri} имеет не единственное решение, и варьировать Ri, не меняя Qj, можно.
Также, нетрудно показать, что ранг этой матрицы равен 4 (достаточно взять верхний левый минор 4х4, его определитель равен 125 * R1 * R2 * R3 * R4 != 0. Значит произвольно варьировать можно только одно из Ri, все остальные вероятность Rj будут вынужденно изменяться по линейному закону от Ri. Искать напрямую эту зависимость от параметра мне достаточно лениво, но это можно сделать методом Крамера и получить очень длинное выражение.
В общем, если я правильно понял задачу и нигде не наврал случайно, то в задаче есть один свободный параметр, а остальные нужно изменять по линейному закону от него.

Да прибудет с тобой сила, юный джедай. Я мало чего понял, но кажется ты ткнул в больное место задачке. Отсыплю тебе немного своей дури, когда пойму как пользоваться методом Крамера.

[Funyoka]

Алеша, откуда задание получил? Я на днях похожее тестовое задание получил на вакансию гейм-дизайнера математика.
Неужели тоже туда подал? Но я то закончил ВМиК МГУ на кафедре мат. статистики и теории вероятностей. Так что я то решу её спокойно.