Сообщение от
Elrond16
Обозначения:
Pi -- вероятность Адольфа подойти к холодильнику i. i = {1, ... 5}, sum[i] Pi = 1.
Pij -- вероятность достать j-ю пеку из холодильника i. Также из условия известно, что Pij = Ri * delta_ij + (1 - delta_ij) * ((1 - Ri) / 4), где delta_ij — символ Кронекера (delta_ij = 1 if i=j, 0 otherwise).
Тогда вероятность Адольфу достать j-ю пеку равна Qj = sum[i] Pi Pij.
Параметрами задачи являются Ri. Насколько я понимаю, требуется найти такие возможные изменения Ri, что Qj не меняются.
Qj = Pj Rj + sum[i!=j] Pi ((1-Ri)/4) = const.
Это линейная система относительно всех Ri, при этом известно, что {Ri} = {0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4} уже являются решениями.
Матрица коэффициентов для этой системы (после умножения на 4) имеет вид: A = ((4R1,-R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,4R2,-R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,4R3,-R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,4R4,-R5),(-R1,-R2,-R3,-R4,4R5)). Легко видеть, что сумма всех строк матрицы дает нулевую строку, значит определитель равен нулю, следовательно {Ri} имеет не единственное решение, и варьировать Ri, не меняя Qj, можно.
Также, нетрудно показать, что ранг этой матрицы равен 4 (достаточно взять верхний левый минор 4х4, его определитель равен 125 * R1 * R2 * R3 * R4 != 0. Значит произвольно варьировать можно только одно из Ri, все остальные вероятность Rj будут вынужденно изменяться по линейному закону от Ri. Искать напрямую эту зависимость от параметра мне достаточно лениво, но это можно сделать методом Крамера и получить очень длинное выражение.
В общем, если я правильно понял задачу и нигде не наврал случайно, то в задаче есть один свободный параметр, а остальные нужно изменять по линейному закону от него.